Элементарная математика. Производная.

[Black_Parrot]

Элементарная математика. Производная.

Производная. Нахождение промежутков возрастания/убывания функции...

Ребят, как определить знаки производной(где функция возрастает, а где убывает), не подставляя чисел из этих промежутков(вместо Х)

Там есть какие-то правила... чередуется +-+ или -+-, когда как чередуется??

Ой, я там в примере перепутал минимум с максимумом... но это просто пример, чтоб Вы поняли, о чём речь...

 

[Black_Parrot]

Дана производная, нужно найти промежутки возрастания/убывания...
Нахожу производную, приравниваю производную к нулю...
Решаю получившееся уравнение.... Получаю экстремумы(точки макс/минимума)

А вот как определить, где ф-я возрастает, а где убывает? Можно, конечно, подставить любое число из этих промежутков в производную и посмотреть, отрицательной или положительной она(производная) будет...

Но обычно просто расставляют, не подставляя числа... как??

помогите...

 

[Vladimir_S]

Ну, насколько я понимаю и припоминаю, всё равно подставлять придется. Можно, найдя экстремумы, определить их тип - т.е. максимум это, минимум или перегиб. Для чего найти вторую производную и подставить значения, соответствующие точкам экстремумов. Если вторая производная положительна, то это минимум, если отрицательна - максимум, а если ноль - перегиб.
Между прочим, изображенный на рисунке пример явно неудачен. Дело в том, что в точках касания с горизонтальной осью функция имеет изломы, и, следовательно, в этих точках она вообще не дифференцируема, а потому найти минимумы путем приравнивания первой производной к нулю в такой ситуации невозможно.

 

[Black_Parrot]

Где пример - это не функция...

Мы так в школе изображали(чтобы легче было)

Это прямая значений функции. На ней указываются экстремумы, ну и промежутки возраст./убывания... это для большей наглядности...

Мне в четверг надо экзамен по математике пересдать...
Я как ЕГЭ по алгебре на 65баллов написал, так и забыл всё напрочь... пару лет назад...

Не, там какое-то правило... что-то типа:
если +x^2, то + - + -...
Если -x^2, то - + - +...

 

[Vladimir_S]

Не, там какое-то правило... что-то типа:
если +x^2, то + - + -...
Если -x^2, то - + - +...

Не, это я не понимаю...

 

[Black_Parrot]

Как-то вот так... но точно не помню...

Это всё условно... точки-экстремумы не высчитывал, а придумал...

 

[Vladimir_S]

Не, Фил - не пойдёт!
Если речь идет не о функции вообще, а персонально о квадратном трехчлене, то экстремум у него всего один-единственный и, соответственно, всего две области возрастания-убывания. Действительно, если коэффициент при х² положителен, то этот экстремум - минимум (график - парабола попой вниз), и то, что слева от минимума - убывающая функция, справа - возрастающая. Если коэффициент при х² отрицателен, то парабола направлена попой вверх, и области возрастания-убывания меняются местами.

 

[Black_Parrot]

Если речь идет не о функции вообще, а персонально о квадратном трехчлене

Когда это правило чередования + - + - действует я и сам не знаю...

 

[Black_Parrot]

Владимир, ну вот конкретный пример...

Здесь чередование + - + , но на основании чего??

 

[Vladimir_S]

Когда это правило чередования + - + - действует я и сам не знаю...

Вообще-то всегда.

 

[Black_Parrot]

Вообще-то всегда.

Во, спасибо... первая часть Done...

А иногда - + - бывает... иногда с минуса, а иногда с плюса начинается... Когда как?

 

[Vladimir_S]

Владимир, ну вот конкретный пример...

Здесь чередование + - + , но на основании чего??

Фил, я не знаю, как вас учили, так что просто по здравому смыслу.
Допустим:
1. Исследуемая функция - полином (квадратичный, кубичный и т.п.).
2. В нем нет точек перегиба (например, y = x³ не годится, потому что при х=0 хоть мы и имеем нулевую производную, но это не экстремум, а перегиб, и в таком случае чередования нет).
Тогда можно считать, что корни уравнения, получающегося при приравнивании производной к нулю - это положения экстремумов (максимумов и минимумов). Естественно, поскольку перегибы исключены, между экстремумами функция может ТОЛЬКО либо возрастать, либо убывать - третьего не дано, причем промежутки возрастания и убывания будут чередоваться. Правильно расставить знаки возрастания и убывания можно, например, из таких соображений: предположим, что х очень большой и неограниченно возрастает, как говорят математики - стремится к бесконечности. Тогда для полинома все слагаемые, начиная со второго, рано или поздно станут пренебрежимо малы по сравнению с первым, т.е. полином для ОЧЕНЬ больших значений х будет эквивалентен просто первому коэффициенту, умноженному на х в максимальной степени (в твоем примере это 2x³). Соответственно, при неограниченном возрастании х будет неограниченно возрастать и значение полинома. Следовательно, мы имеем, что в области значений х, превышающих наибольший из корней производной, функция будет возрастающей. Далее, двигаясь справа налево, просто чередуй.

 

[Black_Parrot]

Всё, спасибо... вроде понял... а, если при Х, стремящемся к бесконечности, полином будет стремиться к -бесконечности, то начинать надо с минуса...

Ну у нас как-то попроще было вроде... там всё упиралось в какой-то знак перед каким-то иксом... ну да ладно...

 

[Vladimir_S]

Всё, спасибо... вроде понял... а, если при Х, стремящемся к бесконечности, полином будет стремиться к -бесконечности, то начинать надо с минуса...

Ну у нас как-то попроще было вроде... там всё упиралось в какой-то знак перед каким-то иксом... ну да ладно...

Ну конечно! Так это оно и есть: если знак минус перед СТАРШИМ членом полинома, то и будет стремиться к -∞, а если знак плюс, то наоборот.

 

[Black_Parrot]

Старший член- это который с иксом в максимальной степени?

 

[Vladimir_S]

Старший член- это который с иксом в максимальной степени?

Угу. Он самый.