Решение уравнений методом Ньютона

[felarl]

Решение уравнений методом Ньютона

Здравствуйте, помогите чем можете. Работать в паскале начал недавно, есть уравнение решил его методом дихотомии, а вот методом Ньютона не могу, можете момочь? сообственно само уравнение: (x-2)^2*2x-1=0, на интервале (0;2) с точностью E=0,001
Вот кое что попробывал:

 

[Vladimir_S]

Здравствуйте, помогите чем можете. Работать в паскале начал недавно, есть уравнение решил его методом дихотомии, а вот методом Ньютона не могу, можете момочь? сообственно само уравнение: (x-2)^2*2x-1=0, на интервале (0;2) с точностью E=0,001

Знаете, я в некотором затруднении. Видите ли, у данного кубического уравнения имеются три вещественных корня, в том числе два из них - в указанном интервале. И какой из них прикажете искать? Или оба? А какой Вы нашли?

На всякий случай - проверьте условие задачи. Может быть, там не "-1", а "+1"? Тогда вещественный корень будет единственным.

Кроме того, Вы АБСОЛЮТНО неправильно задаёте функции. Каждая (да-да, именно КАЖДАЯ) должна иметь структуру типа:

Function FuFuFu(ppp:real):real;
 begin
  ....
  ....
  ....
  FuFuFu:=....
 end;

И никакого объединения их и, тем более, сначала перечня заголовков, а потом (в одном блоке) перечня тел - НЕ ДОПУСКАЕТСЯ!!!
(Что-то похожее, т.е. перечень заголовков, используется при написании модулей, но и там в другом разделе функция задается в виде приведенной выше структуры. Ну или если функция F1 является внутренней по отношению к F, а функция F2 - внутренней по отношению к F1. Но в этом случае там должно быть три вложенных блока, а не один, и, кроме того, вызвать из основной программы F1 и F2 в таком случае невозможно).

 

[felarl]

Знаете, я в некотором затруднении. Видите ли, у данного кубического уравнения имеются три вещественных корня, в том числе два из них - в указанном интервале. И какой из них прикажете искать? Или оба? А какой Вы нашли?

На всякий случай - проверьте условие задачи. Может быть, там не "-1", а "+1"? Тогда вещественный корень будет единственным.

Кроме того, Вы АБСОЛЮТНО неправильно задаёте функции. Каждая (да-да, именно КАЖДАЯ) должна иметь структуру типа:

Function FuFuFu(ppp:real):real;
 begin
  ....
  ....
  ....
  FuFuFu:=....
 end;

И никакого объединения их и, тем более, сначала перечня заголовков, а потом (в одном блоке) перечня тел - НЕ ДОПУСКАЕТСЯ!!!
(Что-то похожее, т.е. перечень заголовков, используется при написании модулей, но и там в другом разделе функция задается в виде приведенной выше структуры. Ну или если функция F1 является внутренней по отношению к F, а функция F2 - внутренней по отношению к F1. Но в этом случае там должно быть три вложенных блока, а не один, и, кроме того, вызвать из основной программы F1 и F2 в таком случае невозможно).

Да, да вы правы там +1 !!! Корень помоему где-то 0.14 должен быть. На счет того что не правильно задал функции, это да, просто так объяснили нам...

 

[felarl]

Сам ход решения хоть правильный?

 

[Vladimir_S]

Сам ход решения хоть правильный?

Не могу сказать, ибо хода не понимаю. Вы что, пытаетесь в одну программу оба метода засадить? Допустим. Но, во-первых, там F1 (первая производная) сосчитана неверно (откуда Вы взяли коэффициент 64? Должен быть 16), а во-вторых - ну на кой там вторая производная?

Да, да вы правы там +1 !!! Корень помоему где-то 0.14 должен быть. На счет того что не правильно задал функции, это да, просто так объяснили нам...

Совсем другое дело. Теперь график выглядит так:

Но корень там вовсе не "где-то 0.14", а около -0.1. Между прочим, в случае одного вещественного корня кубическое уравнение решается точно методом Кардано, и это можно использовать для контроля правильности результата работы итерационных программ. Так вот, формула Кардано даёт х=-0.112085...
Теперь решим задачу методом Ньютона:

Const
 e=0.001;
Var
 x0_old,x0_new,D:Real;

Function F(z:real):real;
begin
 F:=z*z*z*2-z*z*8+z*8+1;
end;

Function F1(z:real):real;
begin
 F1:=z*z*6-z*16+8;
end;

Begin
 x0_old:=0;
 Repeat
  x0_new:=x0_old-F(x0_old)/F1(x0_old);
  D:=Abs(x0_old-x0_new);
  x0_old:=x0_new;
 Until D<e;
 Writeln('Result: x = ',x0_new:0:3);
 Readln
End.

Результат работы этой программы: х=-0.112.

 

[felarl]

Не могу сказать, ибо хода не понимаю. Вы что, пытаетесь в одну программу оба метода засадить? Допустим. Но, во-первых, там F1 (первая производная) сосчитана неверно (откуда Вы взяли коэффициент 64? Должен быть 16), а во-вторых - ну на кой там вторая производная?
Но корень там вовсе не "где-то 0.14", а около -0.1. Между прочим, в случае одного вещественного корня кубическое уравнение решается точно , и это можно использовать для контроля правильности результата работы итерационных программ. Так вот, формула Кардано даёт х=-0.112085...
Теперь решим задачу методом Ньютона:

Const
 e=0.001;
Var
 x0_old,x0_new,D:Real;

Function F(z:real):real;
begin
 F:=z*z*z*2-z*z*8+z*8+1;
end;

Function F1(z:real):real;
begin
 F1:=z*z*6-z*16+8;
end;

Begin
 x0_old:=0;
 Repeat
  x0_new:=x0_old-F(x0_old)/F1(x0_old);
  D:=Abs(x0_old-x0_new);
  x0_old:=x0_new;
 Until D<e;
 Writeln('Result: x = ',x0_new:0:3);
 Readln
End.

Результат работы этой программы: х=-0.112.

Извините,вроде все понял, но не могли бы объяснить один момент? в этой строчке Writeln('Result: x = ',x0_new:0:3); не понятно что такое x0_new:0:3. если не сложноможете пояснить?

 

[Vladimir_S]

если не сложноможете пояснить?

Ни в малейшей степени не сложно. Поясняю.
Это формат вывода вещественного числа. Если его не поставить, то выведется нечто безобразное в таком роде:
-1.1208567754337654Е-001
Если поставить одно число, то оно будет означать полное количество выводимых знаков, включая запись порядка. Так, если напишем х:12, то получим
-1.1208Е-001
Наличие двух чисел в формате означает, что мы выводим число в формате целая часть-точка-дробная часть, и при этом первое число означает ПОЛНОЕ количество знаков, а второе - число знаков дробной части. Так, если задать х:8:3, то будем иметь

х=  -0.112

А вот если первое число - 0, то это означает, что мы фиксируем только число знаков дробной части, а уж целая - какая получится, такая и выведется. Таким образом, формат 0:3 означает, что я прошу вывести результат с тремя значащими цифрами после десятичного разделителя (точки).

 

[felarl]

Ни в малейшей степени не сложно. Поясняю.
Это формат вывода вещественного числа. Если его не поставить, то выведется нечто безобразное в таком роде:
-1.1208567754337654Е-001
Если поставить одно число, то оно будет означать полное количество выводимых знаков, включая запись порядка. Так, если напишем х:12, то получим
-1.1208Е-001
Наличие двух чисел в формате означает, что мы выводим число в формате целая часть-точка-дробная часть, и при этом первое число означает ПОЛНОЕ количество знаков, а второе - число знаков дробной части. Так, если задать х:8:3, то будем иметь

х=  -0.112

А вот если первое число - 0, то это означает, что мы фиксируем только число знаков дробной части, а уж целая - какая получится, такая и выведется. Таким образом, формат 0:3 означает, что я прошу вывести результат с тремя значащими цифрами после десятичного разделителя (точки).

Большое спасибо! Еще один вопрос назрел... а интервалы зачем даны? их программа как-нибудь использует?

 

[Vladimir_S]

Большое спасибо! Еще один вопрос назрел... а интервалы зачем даны? их программа как-нибудь использует?

Нет. Просто для улучшения читабельности. Равно как и отступы, "лесенки" и прочие элементы форматирования листинга.