Решить уравнение в натуральных числах

[iks2]

Решить уравнение в натуральных числах

Дано уравнение 1/x + 1/y = 1/p (где p - простое число)
требуется решить его в натуральных числах
решение
1. одно решение очевидно (2p, 2p)
2. перепишем исходное уравнение в виде
(x + y)p = xy [1]
поскольку p - простое число, то оно будет входить либо в x, либо в y, либо в обе неизвестные разом. Пусть входит в y. То есть y = kp (где k - натуральное число). Подставляя y в уравнение [1] получим
(x + kp)p = xkp
x + kp = kx
kp = (k - 1)x [2]
Вот здесь и возникает неопределенность, хотя еще одно решение можно найти, если положить, что k -1 = p. И тогда k = p + 1 и x = p + 1, а y = p(p + 1)
...
Но ведь икс тоже может делиться на p? Или нет?
В общем я запутался... как подойти к решению уравнения [2]
....
а ведь переменные в придачу входят в уравнение симметрично...

 

[Vladimir_S]

Вот здесь и возникает неопределенность

Так в диофантовых уравнениях она всегда возникает.

еще одно решение можно найти, если положить, что k -1 = p. И тогда k = p + 1 и x = p + 1, а y = p(p + 1)

Отличное решение! Вопрос лишь о единственности. Точно не скажу, но похоже, что оно единственное.