Теория вероятностей и математической статистики

[Lisichka234]

Теория вероятностей и математической статистики

Игроки А и В играют в такую игру. Игрок А делает ставку 7 руб. , а игрок В – 9. Из коробки, которая содержит 2 зеленых, один синий и 2 желтых карандаша, игрок А берет наугад 1 карандаш. Игрок В из коробки, в которой 1 зеленый и 2 синих карандаша берет один. Если карандаши одного цвета, то побеждает игрок А, и забирает весь призовой фонд. Если один карандаш зеленый, а другой синий, то побеждает игрок В. Ну а если среди выбранных карандашей есть желтый, то результат считается ничейным, и каждый игрок получает половину призового фонда.
1. Какая вероятность, что В победит?
2. Какая вероятность, что А будет иметь прибыль?
3. Какая ожидаемая прибыль каждого игрока?
4. Укажите все возможные величины ставки В, при каких его ожидаемая средняя прибыль будет большей от ожидаемой средней прибыли игрока А ( при этом величина ставки игрока А не изменяется)?
5. Игроки играют 3 раза, делая каждый раз ставки: А- 7, В – 9. Какая вероятность того, что по итогу 3 игр А будет иметь прибыль? Какая ожидаемая средняя прибыль игрока А?

 

[Vladimir_S]

Игроки А и В играют в такую игру. Игрок А делает ставку 7 руб. , а игрок В – 9. Из коробки, которая содержит 2 зеленых, один синий и 2 желтых карандаша, игрок А берет наугад 1 карандаш. Игрок В из коробки, в которой 1 зеленый и 2 синих карандаша берет один. Если карандаши одного цвета, то побеждает игрок А, и забирает весь призовой фонд. Если один карандаш зеленый, а другой синий, то побеждает игрок В. Ну а если среди выбранных карандашей есть желтый, то результат считается ничейным, и каждый игрок получает половину призового фонда.
1. Какая вероятность, что В победит?
2. Какая вероятность, что А будет иметь прибыль?
3. Какая ожидаемая прибыль каждого игрока?
4. Укажите все возможные величины ставки В, при каких его ожидаемая средняя прибыль будет большей от ожидаемой средней прибыли игрока А ( при этом величина ставки игрока А не изменяется)?
5. Игроки играют 3 раза, делая каждый раз ставки: А- 7, В – 9. Какая вероятность того, что по итогу 3 игр А будет иметь прибыль? Какая ожидаемая средняя прибыль игрока А?

Ну что же, давайте разберём эту задачу.
Прежде всего составим таблицу возможных комбинаций цветов карандашей и связанных с каждой комбинацией величин.

Ц_А Ц_В  Вер.  Д_А   Д_В   П_А  П_В   П_А*      П_В*
 з   з   2/15   16     0    9   -9     х        -х
 з   с   4/15    0    16   -7    7    -7         7
 с   з   1/15    0    16   -7    7    -7         7
 с   с   2/15   16     0    9   -9     х        -х
 ж   з   2/15    8     8    1   -1   (х-7)/2   (7-х)/2
 ж   с   4/15    8     8    1   -1   (х-7)/2   (7-х)/2

Здесь з, с, ж - цвет карандаша, Вер. - вероятность каждой комбинации, Д_А и Д_В - денежный итог для каждого из игроков, П_А и П-В - прибыль в результате игры (денежный итог минус ставка), П_А* и П-В* - прибыль в результате игры, когда игрок В ставит не 9, а х рублей (нужно для 4 вопроса). Заметим (в порядке контроля), что сумма вероятностей составляет, как и положено, 1.

1. Игрок В выигрывает только при втором и третьем исходе, а потому вероятность его выигрыша есть 5/15.

2. Прибыльными для игрока А являются исходы 1, 4, 5 и 6, соответственно искомая вероятность - 10/15.

3. Для того, чтобы найти ожидаемую прибыль, следует для каждого из игроков просуммировать шесть произведений величины прибыли в каждом из исходов на вероятность этого исхода. Таким образом, для игрока А эта величина составит 7/15, для игрока В, соответственно, -7/15.

4. Для ответа на этот вопрос вновь сосчитаем ожидаемые прибыли, только в качестве прибылей возьмём те, что со звёздочкой. По условию ожидаемая прибыль В должна превысить ожидаемую прибыль игрока А. Отсюда получается неравенство
7х/15 - 56/15 < 56/15 - 7х/15,
откуда легко находим, что х<8. Значит, для выполнения условия игрок В должен поставить 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7 рублей.

5. Тут, к сожалению, не смогу помочь: при переборе комбинаций из возможных исходов возникает слишком много вариантов, работы, похоже, на неделю-другую, а короткого пути я не вижу. Извините.