Задачка

[SGE]

Задачка

Приветствую вас, уважаемые программисты. Долго и упорно сидел, думая над выполнением задачи в паскале. Итак:
Необходимо найти корень третьей степени из a (или a в степени 1/3, что тоже самое) как предел последовательности x0,x1,x2,...,где x0=a/3, а каждое следующее x с нижним индексом n-1 получается из предыдущего по формуле:
xn-1 = 2/3*(xn + a/2*sqr(xn)),n = 0,1,2...
К вам просьба следующего характера: попытаться как-то разъяснить мне суть этой задачи (естественно в текстовом варианте). Но программу не составляйте, хотелось бы сделать её самому.

 

[Vladimir_S]

Прежде всего, что-то не то с условием. Я взял для проверки а=8, и получил, что последовательность, вместо того, чтобы стремиться к 2, очень медленно сходится к 0.
Проверьте формулировку. И потом, не совсем ясно вот что. Вы пишете "каждое следующее x с нижним индексом n-1 получается из предыдущего..." но в формуле всё наоборот - каждое ПРЕДЫДУЩЕЕ выражено через ПОСЛЕДУЮЩЕЕ. Здесь нет лажи с индексами?

 

[SGE]

Я думаю, что такой вопрос лучше следует задать автору книги "Изучаем Turbo Pascal" (т.е. С. Немнюгину). Задачку я взял именно оттуда. Но, всё равно спасибо.

 

[Vladimir_S]

И еще. Правильно ли я понимаю, что a/2*sqr(xn) означает, что а нужно поделить на 2 и результат умножить на хn в квадрате, а не, скажем, а поделить на произведение 2 и квадрат хn?

 

[SGE]

Да, здесь моя ошибка. Действительно необходимо a разделить на произведение 2-х и sqr(xn)

 

[Vladimir_S]

Да, здесь моя ошибка. Действительно необходимо a разделить на произведение 2-х и sqr(xn)

Опаньки! Но тогда уравнение относительно Хn получается кубичным - и что же, его по Кардано решать прикажете? Впрочем, надо еще подумать: вдруг озарит!

 

[Vladimir_S]

Так, кое в чем разобрался. В условии таки лажа с индексами. Вместо
xn-1 = 2/3*(xn + a/2*sqr(xn)),n = 0,1,2...
должно быть
xn = 2/3*(xn-1 + a/(2*sqr(xn-1))),n = 1,2...
Тогда всё получается. Проверил. Но вот как получить самО разложение кубического корня... Не представляю. Никогда с таким не встречался. Интересно.

 

[Vladimir_S]

Ага, в принципе доехало. За основу взято тождество
х = 2/3*(x + x³/(2x²)).
Это, вероятно, какой-нибудь итерационный метод Лагранжа или что-то в этом роде. Не силён, извините.