Четыре числовых ряда

[qimer]

Мне кажется, что сумма квадратов, которая должна быть минимально это не тот фактор, который будет верным. Опять, видимо я неверно подал задачу. Нужно чтобы все элементы полученной суммы рядов были минимально отклонены от 0...
Т.е. элементы ...17 20 .... это лучше, чем ... 22 5...
Это скорее можно найти такие коеф.-ы, которые сделают так, что максимальный элемент (по модулю) будем наименьшим из всех вариантов.. Как-то так

 

[Vladimir_S]

Мне кажется, что сумма квадратов, которая должна быть минимально это не тот фактор, который будет верным. Опять, видимо я неверно подал задачу.

А мне кажется, что именно самый тот фактор.

Нужно чтобы все элементы полученной суммы рядов были минимально отклонены от 0...

Да как же этого добиться, если коэффициент - един для всех членов каждого из рядов? МНК как раз и дает способ: подобрать коэффициенты так, чтобы сумма квадратов отклонений от нуля по всем точкам итогового ряда была минимальной.

Вообще, МНК (метод наименьших квадратов) - это универсальный прием, применяющийся практически во всех аппроксимационных задачах. И я думаю, что и здесь он как нельзя более уместен.

 

[Vladimir_S]

И все-таки что-то не то. Ведь если мы ищем наименьшую сумму квадратов, то должен получиться лишь 1 набор коэффициентов. А как мы видим 2-е коэффициенты даже не пропорциональны первым.

Вторые - это после замены базового ряда? Естественно. Потому что в каждом случае один из рядов - особый. Можно поочередно ставить каждый из рядов на место базового, а потом из получившихся сумм выбрать наименьшую.
Между прочим (и я это в порядке теста проверил), если пустить "в свободное плавание" все четыре коэффициента, то на выходе получим полный сброс, т.е. С1=С2=С3=С4=0. Чего и следовало ожидать.

 

[qimer]

А мне кажется, что именно самый тот фактор.

Да как же этого добиться, если коэффициент - един для всех членов каждого из рядов? МНК как раз и дает способ: подобрать коэффициенты так, чтобы сумма квадратов отклонений от нуля по всем точкам итогового ряда была минимальной.

Вообще, МНК (метод наименьших квадратов) - это универсальный прием, применяющийся практически во всех аппроксимационных задачах. И я думаю, что и здесь он как нельзя более уместен.

Владимир, ну вот вы говорите про сумму квадратов... Элементарный пример : возьмем по 2 пары элементов и сравним сумму их квадратов

7 22 и 19 17

7^2+22^2=49 + 484 =533
19^2 + 17^2 = 361 + 289 = 650

В данном случае 650 > 533, однако максимальный элемент во 2-м случае меньше максимального элемента в 1-м случае.. т.е. 19<22
Понимаете о чем я?

Возможно, если вы сталкивались с нормализацией аудио-волны, вы знаете как выглядит график такой волны, на нем нет всплесков, все выравнено. Вот примерно такое и нужно. Вот рисунок:

 

[Vladimir_S]

В данном случае 650 > 533, однако максимальный элемент во 2-м случае меньше максимального элемента в 1-м случае.. т.е. 19<22 Понимаете о чем я?

Понимаю, но... Но напрочь не вижу, как это можно алгоритмизировать. МНК хорош тем, что даёт возможность аналитически решить задачу, а как быть в Вашем случае - просто не знаю.
Возможно, нужно провести предварительную частотную фильтрацию в каждом из рядов, чтобы убрать "выбросы"?

 

[qimer]

Понимаю, но... Но напрочь не вижу, как это можно алгоритмизировать. МНК хорош тем, что даёт возможность аналитически решить задачу, а как быть в Вашем случае - просто не знаю.
Возможно, нужно провести предварительную частотную фильтрацию в каждом из рядов, чтобы убрать "выбросы"?

Если попробовать из исходной матрицы [элементы ряда][ряд] вычесть их MO (мат.ожидание).. Т.е. среднее значение элементов ряда. Может это поможет найти верные коэффициенты?

Возможно СКО (среднеквадратичное отклонение) или дисперсия СКО^2 чем-то помогут
прилагаю файл

 

[qimer]

Вот еще о задаче:
"Есть несколько ВР (временных рядов) с нулевым мат. ожиданием. Надо найти такие весовые коэффициенты, чтобы полученный при сложении ВР имел наименьшую из возможных дисперсию (анализ эффективностей отличных от МНК (метод наименьших квадратов - минимальная дисперсия) методов не проводился). Чтобы исключить вариант нулевых коэффициентов добавим условие, что сумма их квадратов равна единице."

 

[qimer]

Из курса линейной алгебры следует, что искомый оптимальный вектор коэффициентов - собственный вектор, соответствующий минимальному собственному значению ковариационной матрицы, составленной из столбцов исходной матрицы.

 

[qimer]

Замечания.
Заметим, что полученный оптимальный вектор нельзя использовать для расчета оптимального суммарного ряда. Для него служит вектор, полученный без приведения дисперсии исходных ВР к единице.

Заметим также, что на результат не оказывает никакого влияния перемещение строк в исходной матрице. Например, смотрим мы слева-направо на ВР или справа-налево, взаимосвязи будут одинаковыми.

Также добавление нового столбца в исходной матрице абсолютно логично уменьшает дисперсию оптимального суммарного ряда.

Теперь о том, почему сумма квадратов коэффициентов равна единице. Единица, т.к. это нормировка вектора.

 

[Vladimir_S]

Из этих замечаний-разъяснений я, увы, ровно ничего не понял.
1. Введение условия удержания суммы квадратов коэффициентов, равной единице, начисто исключает аналитическое решение, поскольку добавляется нелинейное уравнение. К тому же, если

Заметим, что полученный оптимальный вектор нельзя использовать для расчета оптимального суммарного ряда. Для него служит вектор, полученный без приведения дисперсии исходных ВР к единице.

то зачем вообще нужна эта операция?
2. Тут:

Заметим также, что на результат не оказывает никакого влияния перемещение строк в исходной матрице. Например, смотрим мы слева-направо на ВР или справа-налево, взаимосвязи будут одинаковыми.

совсем мутно: если "справа-налево" и "слева-направо", то, вероятно, речь идёт не о строках, а о столбцах? Но это и так очевидно.
3. Этой сентенции

Также добавление нового столбца в исходной матрице абсолютно логично уменьшает дисперсию оптимального суммарного ряда.

совсем не понял. Смотря какой столбец добавлять: если с большИм разбросом, то, по-моему, очень даже увеличит.
4. Кроме того, повозился я с рядами, приведенными к нулевому матожиданию. Вывод: ничего это принципиально не меняет.

 

[qimer]

Владимир, спасибо большое за проделанную работу! Вы очень помогли. Дальше постараюсь сам разобраться

 

[Vladimir_S]

Владимир, спасибо большое за проделанную работу! Вы очень помогли. Дальше постараюсь сам разобраться

Удачи!!!!!