Дифференциальное уравнение на паскале

[AleXan]

Дифференциальное уравнение на паскале

Собственно задание такое
1. Привести заданное уравнение второго порядка к системе двух уравнений первого порядка
2. Разработать программу на языке Паскаль. Для вычисления правой части уравнения использовать подпрограмму-функцию. Предусмотреть в программе вывод на экран таблицы, включающей приближенное решение, точное решение и абсолютную погрешность на отрезке.
УРавнение данное
y''-3y'=(e)^(5x)
y(0)=1
y'(0)=-1
Отрезок [0;0.2]
Шаг 0.02

 

[Vladimir_S]

Собственно задание такое
1. Привести заданное уравнение второго порядка к системе двух уравнений первого порядка
2. Разработать программу на языке Паскаль. Для вычисления правой части уравнения использовать подпрограмму-функцию. Предусмотреть в программе вывод на экран таблицы, включающей приближенное решение, точное решение и абсолютную погрешность на отрезке.
УРавнение данное
y''-3y'=(e)^(5x)
y(0)=1
y'(0)=-1
Отрезок [0;0.2]
Шаг 0.02

Ну, с аналитикой вроде разобрался.
Система, очевидно, подразумевается такая:

z'-3z=Exp(5x)
y'=z

Решаем первое уравнение. Частное решение ищем в виде
z(x)=A(x)*Exp(5x), откуда, подставляя и сокращая Exp(5x), получаем уравнение для А(х):

A'(x)+2A(x)=1,

решая которое, получаем

A(x)=0.5*(1-Exp(-2x)), откуда z(ч.р.)=0.5*(1-Exp(-2x))*Exp(5x) .

Теперь найдем общее решение однородного уравнения z'-3z=0, что сразу дает z(о.р.)=C*Exp(3x). Таким образом, полное решение первого уравнения системы есть

z=0.5*(1-Exp(-2x))*Exp(5x)+C*Exp(3x) .

Из граничного условия y'(0)=z(0)=-1 находим константу С, С=-1.

Подставляя С в уравнение для z, раскрыв скобки и приведя подобные, получаем:

z=0.5*(Exp(5x)-3*Exp(3x)) .

Для нахождения y(x) интегрируем z по х, в результате имеем:

y=0.5(0.2*Exp(5x)-Exp(3x)) + D .

Из граничного условия y(0)=1 находим, что D=1.4 . Таким образом, окончательно

y=0.5(0.2*Exp(5x)-Exp(3x)) + 1.4 .

А вот что дальше - не понимаю. Какие "приближенные" решения? Какие погрешности? Что имеется в виду?

 

[AleXan]

ну абсолютная погрешность имеется ввиду разность между точным значением и приближенным значением
относительная погрешность это модуль отношения абсолютной к приближенному значению x

и хотел спросить о ещё одной задаче
разработать программу на языке Pascal нахождения приближенного значения функции при указанном значении аргумента методом Лагранжа и методом линейной интерполяции
Функция(пишу прям как дано в условии)
X 0.41 0.46 0.52 0.60 0.65 0.73
Y 2.574 2.325 2.093 1.862 1.849 1.621
Значение аргмуента X (я так понял должно быть равно этому значению) 0.478

 

[Vladimir_S]

ну абсолютная погрешность имеется ввиду разность между точным значением и приближенным значением
относительная погрешность это модуль отношения абсолютной к приближенному значению x

Ну это я, знаете ли, в курсе. Другое непонятно - что в данном случае подразумевается под "приближенным решением"? Каким методом искать это самое "приближенное решение"? Вот что хотелось бы уяснить.

 

[AleXan]

Ну может от полученного значения отбросить все после запятой и это разделить на исходное

 

[Vladimir_S]

Ну может от полученного значения отбросить все после запятой и это разделить на исходное

Ну нет, вряд ли. Скорее всего, подразумевается какой-то конкретный метод приближенного решения диф. уравнения. Только вот знать бы, какой...
P.S. По точному решению вопросов нет?

 

[AleXan]

Нет, по точному решению вопросов нет. Спасибо.

 

[Vladimir_S]

А насчет интерполяционного метода Лагранжа... Вы знаете, просто физически нет времени (да и желания, честно говоря) в это дело зарываться. Так что может быть Вы все-таки сами? Оно и полезнее. К тому же изложение этого метода есть в любом справочнике.

 

[AleXan]

Да, я просто сразу не нашел нужную литературу. Спасибо Вам за помощь большое.