Найти предел выражения

[Sopel]

Найти предел выражения

Доброго времени суток. Помогите решить этот предел. Уже два дня сижу и никак не могу найти решение. Домножал на сопряженное. Результата нет. Не отрицаю того, что мог накосячить

 

[Vladimir_S]

Ну, ответ тут очевиден и составляет 2/3.
Рассуждаем так.
1. Множитель есть x^(2/3) (здесь и далее ^ означает возведение в степень).
2. Выносим за скобки x^(1/3). Выражение преобразуется к виду
x * ((1 + 1/x)^(1/3) - (1 - 1/x)^(1/3))
3. Замечаем, что х → ∞ означает, что (1/х) → 0, а значит, мы можем разложить оба бинома в ряд и ограничиться первым членом разложения. Поскольку
(1 ± z)ª → 1 ± az, получаем
x * (1 + (1/3x) - 1 + (1/3x)) = 2/3

 

[Vladimir_S]

мы можем разложить оба бинома в ряд и ограничиться первым членом разложения.

Точнее, так. При разложении обоих биномов в ряд и умножении этих рядов на стоящий за скобками х, все члены, кроме нулевого и первого, стремятся к 0. Нулевые члены сокращаются, а первые дают в сумме 2/3.