Помогите с дифференциальными уравнениями

[Tanya]

Помогите с дифференциальными уравнениями

Помогите, чем сможете, пожалуйста. Буду благодарна:tehnari_ru_942:

 

[Léon1]

Вы бы сказали, что у вас не получается, а то сидеть и прорешивать все как-то не хочется...
Можете посмотреть решения из сборника задач по дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова. Там аналогичные задачи.

 

[Vladimir_S]

Ну, что касается второго, то прежде всего, не ясно, что тут делает частная производная? Но если считать ее производной обычной, то так:

1. Умножаем обе части уравнения на (х² + 1)². Получаем:
y'(х² + 1)² + 4ху(х² +1) = 1/(х² +1)
2. Замечаем, что то, что стоит слева, есть ни что иное, как производная произведения у(х² + 1)². Обозначив это произведение буквой z, имеем
z' = 1/(x² + 1).
3. Интегрируя, получаем
z = arctg(x) + C
4 Откуда без труда находим искомый у:
у = (arctg(x) + C)/(х² + 1)²

 

[Vladimir_S]

Да, а вот с первым... Заело, признаться. Добил, конечно, но вот есть у меня подозрение, что ездил в Жмеринку из Киева через Владивосток. Скорее всего, существует куда более простое и быстрое решение. Не нашел.
Решал так:
y'' - 2y' + 2y = 4Exp(x)Cos(x)
Прежде всего, избавимся от экспоненты с помощью очевидной подстановки y = 4zExp(x). Тогда, после вычисления производных и приведения подобных, получаем уравнение относительно z:
z'' + z = Cos(x)
тоже гнусно-нелинейное. Ладно, займёмся его решением. Общее решение однородного уравнения очевидно: ACos(x) + BSin(x), где A и B - произвольные константы. Теперь ищем частное решение. Для этого удобнее перейти к комплексной форме. Пусть z = Re(Z) и
Z'' + Z = Exp(ix)
Общее решение однородного уравнения есть CExp(ix), а частное найдем методом вариации постоянной, т.е. в форме C(x)Exp(ix). Подстановка дает
C'' + 2iC' = 1
Сделав, для избавления от единицы справа, подстановку C = Q - ix/2, получаем для Q
Q'' + 2iQ' = 0,
которому удовлетворяет функция Q = Exp(-2ix), откуда
C = Exp(2ix) - ix/2
Z = (Exp(2ix) - ix/2)Exp(ix)
Переходя в последнем уравнении от экспоненциальной формы к тригонометрической, произведя умножение с сохранением только вещественных элементов и добавив решение однородного, получаем
z = (A+1)Cos(x) + (x/2 + B)Sin(x)
y = 4zExp(x) = (4(A+1)Cos(x) + (2x + 4B)Sin(x))Exp(x)
Переобозначая константы D=4(A+1) и F=4B, получаем:
y = (DCos(x) + (2x + F)Sin(x))Exp(x)
Найдем от этого дела производную:
y' = (Sin(x)(2x + F - D + 2) + Cos(x)(D + 2x + F))Exp(x).
Осталось вычислить константы.
y(π) = -DExp(π), откуда D = -π
y'(π) = (-D + 2π +F)Exp(π), откуда F = 1 - π.
Окончательно:
y = ((2x + 1 - π)Sin(x) - πCos(x))Exp(x)