Проблема с дифференциальными уравнениями

[Neonn1k]

Проблема с дифференциальными уравнениями

Дали задания к началу зачётов, не могу разобраться и по времени никак не успеваю сделать половину из них.
Если можно пояснение, что как и откуда. Приму любую помощь по всем заданиям. Может, где какую формулу или порядок действий подскажете.

Очень важно готовое решение последних 4 заданий с пояснениями.

Буду премного благодарен нашим технарям.:tehnari_ru_121:

 

[Vladimir_S]

Никита, я, конечно, понимаю, что многое в мире меняется, но студенческие устои остаются незыблемыми в плане провалять дурака весь семестр, а накануне зачетной недели спохватиться. Но сильно помочь с заданием не могу, это огромный объем вычислительной работы, но, скажем, один примерчик - вот:

y'' - 3y' + 2y = (x² + x)*exp(3x)
Прежде всего, найдем общее решение однородного уравнения
y'' - 3y' + 2y = 0
Ищем его в виде y = D*exp(kx)
Подстановка в однородное уравнение дает k² - 3k + 2 = 0. Корни 1 и 2. Таким образом, общее решение однородного уравнения есть
y = D1*exp(x) + D2*exp(2x), где D1 и D2 - произвольные константы.
Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения. Искать будем в виде
y = (Ax² + Bx + C)*exp(3x)
Дифференцируем и приводим подобные:
y' = [3Ax² + (2A+3B)x + (B+3C)]*exp(3x)
y'' = [9Ax² + (12A + 9B)x + (2A + 6B + 9C)]*exp(3x)
Подставляем в исходное уравнение:
y'' - 3y' + 2y = [2Ax² + (6A + 2B)x + (2A + 3B + 2C)]*exp(3x) =
= (x² + x)*exp(3x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях равенства, получаем систему уравнений:
2A = 1
6A + 2B = 1
2A + 3B + 2C = 0
откуда легко находим A = 1/2, B = -1, C = 1.

Таким образом, окончательно:

y = D1*exp(x) + D2*exp(2x) + (x²/2 - x + 1)*exp(3x)

Остальные последние задания делаются "по образу и подобию". Я точно не возьмусь: достаточно сказать, что с этой одной задачкой пару часов провозился, трижды повторял расчет - каждый раз где-то враньё обнаруживалось - пока наконец все концы с концами не сошлись. Староват я уже для таких игр, увы...

 

[Neonn1k]

Vladimir_S, спасибо. Смысл понял. Признателен за помощь. Сейчас буду пробовать делать следующие. Тяжело даётся дифференцирование мне... Мат. Логика легче шла)
Ещё раз спасибо)

 

[Neonn1k]

Никак не могу сообразить по поводу №62, что и как делается. Может кто помочь?

 

[Vladimir_S]

Никак не могу сообразить по поводу №62, что и как делается. Может кто помочь?

Ну что, сразу скажу, что используется подстановка в), т.е. решение ищется в виде y=x*u(x). Тогда переменные в уравнении разделяются.