Решить систему методом Ньютона

[Женек1]

Решить систему методом Ньютона

Помогите разобраться с системой:
x^2+Y^2-1=0
sin(x+y)=1,5x+0,2
Беру производные 2x 2y ) Правильно?
cos-1,5 cosy

И еще можете объяснить как правильно подобрать x0 и y0?

 

[Vladimir_S]

Зачем так сложно? Просто из первого уравнения выражаете у через х, подставляете во второе и полученное уравнение решаете. Метод описан здесь: http://www.tehnari.ru/f41/t95695/.

 

[Vladimir_S]

Ладно уж, распишу решение.
Из первого уравнения находим:

y = ±Sqrt(1-x²)

Отсюда сразу видим, что область допустимых значений х есть

-1 ≤ х ≤ +1

Подстановка у во второе уравнение даёт:

1.5*x + 0.2 - Sin(x ± Sqrt(1-x²)) = 0

Рассмотрим два случая: со знаком "+" и со знаком "-".

1. Со знаком "+".
Для определения приближенного значения корня построим график функции

f(x) = 1.5*x + 0.2 - Sin(x + Sqrt(1-x²))

Он выглядит так:

поэтому в качестве исходного значения выберем х = 0.5.
Программа на Турбо Паскале:

Const
 Eps=0.0001;
Var
 x,y:Real;

Function F(z:real):Real;
begin
 F:=z*1.5+0.2-Sin(z+Sqrt(1-z*z));
end;

Function G(z:real):Real;
begin
 G:=1.5-Cos(z+Sqrt(1-z*z))*(1-z/Sqrt(1-z*z));
end;

Procedure EQRoot(e:real; var R:real);
var
 x1,x2,d:real;
begin
 x1:=0.5;
 Repeat
  x2:=x1-F(x1)/G(x1);
  d:=abs(x1-x2);
  x1:=x2;
 Until d<e;
 R:=x2;
end;

Begin
 EQRoot(Eps,x);
 y:=Sqrt(1-x*x);
 Writeln('x = ',x:6:4);
 Writeln('y = ',y:6:4);
 Readln
End.

Результат:

х = 0.5205
у = 0.8539

2. Со знаком "-".
График:

Исходное значение х = -0.8
Программа:

Const
 Eps=0.0001;
Var
 x,y:Real;

Function F(z:real):Real;
begin
 F:=z*1.5+0.2-Sin(z-Sqrt(1-z*z));
end;

Function G(z:real):Real;
begin
 G:=1.5-Cos(z-Sqrt(1-z*z))*(1+z/Sqrt(1-z*z));
end;

Procedure EQRoot(e:real; var R:real);
var
 x1,x2,d:real;
begin
 x1:=-0.8;
 Repeat
  x2:=x1-F(x1)/G(x1);
  d:=abs(x1-x2);
  x1:=x2;
 Until d<e;
 R:=x2;
end;

Begin
 EQRoot(Eps,x);
 y:=-Sqrt(1-x*x);
 Writeln('x = ',x:6:4);
 Writeln('y = ',y:6:4);
 Readln
End.

Результат:

х = -0.7906
у = -0.6123

Всё!!!