Вычислить объем тела

[Fenix]

Вычислить объем тела

Помогите вычислить объем тела ограниченного поверхностями:
3x+y=2 ;
3x+2y=4;
x+y+z=2;
y=0;
z=0;

У меня получилось:
4/3 (2-y)/3 -верхняя граница
S dy S(2-x-y)dx -интеграл по dy интеграл по dx
2/3 (4-2y)/3 -нижняя граница

Очень желательно до утра решить) Заранее спасибо.

 

[Vladimir_S]

А я так думаю, что никаких интегралов тут вообще не надо, вполне можно обойтись почти школьными методами.
Для начала займемся рисованием и изобразим фигуру, объем которой надлежит вычислить:

Фигура выделена красным. Засечки на осях соответствуют 1, точки F и G на оси Х имеют координаты 2/3 и 4/3, соответственно (следует из первых двух уравнений при у=0). Искомый объем представляет собой разность объемов пирамид AFDB и AGEB, а объем любой пирамиды, как известно, есть треть произведения ейного основания на высоту. Таким образом:

V = V1-V2 = (0.5*(FB*OA)*FD)/3 - (0.5*(GB*OA)*GE)/3

FB = 4/3
OA = 2
FD = FB = 4/3 (поскольку треугольник COB - равнобедренный, и, следовательно, подобные ему треугольники DFB и EGB - тоже)
GB = GE = 2/3

Подставляя всё это хозяйство в формулу для объема, получаем:

V = 16/27 - 4/27 = 12/27 = 4/9

Вроде, всё.

Впрочем, если очень хочется через интегралы - можно и через интегралы (опять же, правда, опираясь на рисунок). Пожалуйста:

​

 

[Fenix]

Спасибо большое, Владимир. Только у меня ответ другой получился: 112/27, и декан думает, что это правильный ответ.

P.S: я бы и не через интеграл решал, да декан против)))

 

[Vladimir_S]

Спасибо большое, Владимир. Только у меня ответ другой получился: 112/27, и декан думает, что это правильный ответ.

P.S: я бы и не через интеграл решал, да декан против)))

Четыре с лишним кубика?!! Ну вы с деканом даете... Чушь, естественно, полная.
Кстати, "не через интеграл" можно и проще (сейчас разглядел): ведь наша фигура - это ни что иное, как лежащая на боку четырехгранная пирамида высотой 2 с трапецией FGED в основании. Естественно, расчет прямо по формуле объема пирамиды приводит к тому же результату: 4/9.
Ну как знаете.

 

[Fenix]

Незнаю, может у декана сдвиг по фазе? Сегодня, сам не знаю как, выиграл приз в 30 интегралов на выходные.