Доказать тождество

[iks2]

Доказать тождество

Требуется доказать тождество
sin(x)^2 - sin^2 = sin(x + y)sin(x -y)

 

[Vladimir_S]

А в чем подвох? Обычная школьная задачка по тригонометрии. Решается "в лоб".

 

[iks2]

Vladimir_S
Вы правы эту задачу можно решить "в лоб".
Но еще проще решить "в уме". Пусть x - переменная
y - параметр. Легко вычислить производную по
переменной икс... и тождество доказано
...
производная - это не подвох, а математический прием.

 

[Vladimir_S]

Vladimir_S
Вы правы эту задачу можно решить "в лоб". Но еще проще решить "в уме". Пусть x - переменная y - параметр. Легко вычислить производную по переменной икс... и тождество доказано

Э-э... я, конечно, дико извиняюсь, но нельзя ли поподробнее? Что-то не доходит...
Производная по х левой части есть
2sin(x)cos(x)
Правой части -
cos(x+y)sin(x-y) + cos(x-y)sin(x+y)
Да, действительно, и справа, и слева мы имеем Sin(2x).
Вот только осмелюсь напомнить, что из равенства производных, а уж тем более частных, отнюдь не следует тождественность функций. То есть настолько не следует, что вовсе не следует.

производная - это не подвох, а математический прием.

Изречение сродни знаменитому "автомобиль - не роскошь, а средство передвижения" (см. И.Ильф, Е.Петров, "Золотой телёнок").

 

[iks2]

Vladimir_S
Чтобы доказать, что это тождество, мы должны перенести все левую часть и доказать, что это константа равная нулю.
Полагая x = y = 0 мы получим равенство 0 = 0.
Теперь нам надо доказать, что левая часть не зависит от икс. Иными словами производная по икс должна быть равна 0.
ВНИМАНИЕ.
Поймите, это не функция от двух переменных. Еще раз!! Икс не зависит от Игрек и обратное тоже верно!! То есть мы сами устанавливаем, что это уравнение при неизвестной x и параметре y. И нам надо доказать, что левая часть равна 0. Вычисляя производную (параметр y рассматривается как константа) мы получаем 0.
Вывод: уравнение не зависит от икс (и от y тоже). То есть уравнение верно при любом икс (и y тоже). Иными словами это Тождество.

примечание:
попробуйте доказать более простое тождество arctg(x) + arcctg(x) = pi/2 (pi - это число пи). Возможно это даст вам более глубоко осмыслить приведенное выше решение.

 

[Vladimir_S]

Возможно это даст вам более глубоко осмыслить приведенное выше решение.

Ох, да куда уж мне! Единственное, что я отныне уразумел, что
х + у ≡ х
Не, правда:
1. Кладём х = 0 и у = 0. Получаем тождество 0 ≡ 0.
2. Дифференцируем по х, считая у параметром. Получаем 1 ≡ 1.
Всё?
А, да, забыл - нужно же в левую часть всё перенести! Ладно, рассматриваем функцию
х + у - х
Полагая х=у=0, получаем 0.
Дифференцируя по х, тоже получаем 0.
По-моему, доказали.

 

[iks2]

Vladimir_S
Ну что ж это мой прокол (точнее я упустил очевидную для себя вещь). Икс и Игрек входят в тождество симметрично, так что находить производную по игрек не надо...

Теперь главное в двух словах
1. У нас тождество (пусть правая часть равна 0)
2. То есть левая часть Константа равная нулю.
3. Раз так, то производная по любой переменной должна быть равна 0
4. В силу симметрии переменных достаточно вычислит одну производную например по икс, можно и по игрек.
5. Это производная ТОЖДЕСТВЕННО равна нулю.
...
Vladimir_S
Вы извините, что я так сначала глупо все объяснил. Я так привык обращаться с производной при решении уравнений, что мне самому ясно, что я делаю. И не ясно как это воспримут другие. (для других я даю готовый ответ, опустив всю логику решений)...